Солнце в этот день палило нещадно, поэтому дедушка решительно предложил своей бравой команде перенести занятия на ближайший пляж. Ученики не возражали! Какое там, Колька стремглав побежал домой – переодеваться – только пятки сверкали…

Когда вся компания, несколько раз нырнув в прохладную, немного пахнущую водорослями воду, блаженно растянулась на пляже, Колька, зажмурив от удовольствия глаза, спросил дедушку.

– Скажите, Михаил Христофорович, вот Вы столько нам с Олей рассказывали о координатах, о построении углов. А какой у всей этой премудрости практический смысл?

Папа всегда говорил про этот «практический смысл», вот Колька и запомнил умное слово…

Не успел Михаил Христофорович ответить, как нашу троицу окружили ребята из соседней деревни – они давно с некоторой завистью наблюдали за играющими друзьями, и предложили сыграть, по случаю встречи, в волейбол … Специальной площадки на пляже не было и Колька стал отказываться, под тем предлогом, что на песке без специальных инструментов и приспособлений не начертить правильной прямоугольной площадки для игры, а без разметки – как определить счёт?

Расстроенные ребята уже собрались уходить, когда их остановил дедушка.

– Вот, Коля, и ответ на твой вопрос, – заявил он. – Впрочем, если Вы не возражаете, я поподробнее остановлюсь на вопросе о геометрии и её приложениях.

Возражений не было и дедушка, решительно усевшись, начал свой рассказ.

– Сама по себе наука геометрия изучает пространственные свойства предметов, не обращая внимания на их остальные признаки. Например, Ваш волейбольный мяч диаметром в 65 см и чугунное ядро того же диаметра отличаются друг от друга по весу, по цвету, по твердости. Однако все эти физические характеристики мяча и ядра в геометрии остаются без внимания, пространственные же их свойства (форма и размеры) одинаковы. С точки зрения геометрии каждый из этих предметов представляет собой шар диаметром 65 см.

Предмет, от которого мысленно отняты все его свойства, кроме пространственных, называется геометрическим телом. Шар есть одно из геометрических тел. Идём дальше. Поверхность мы мысленно отделяем от тела, которому она принадлежит и лишаем её толщины. Линию мы лишаем толщины и ширины, а точку вовсе лишаем измерений. Будем считать, что точка может служить границей линии (или ее части), линия – границей поверхности и поверхность – границей тела. Также условимся, что точка может двигаться и своим движением порождать линию, линия может движением порождать поверхность, а поверхность – порождать тело.

– Словно точка испачкалась в краске и за ней остаётся след на листе бумаги, – засмеялся Колька.

– Верно, верно… Однако следует помнить, что в природе нет точек, лишенных измерений, но есть предметы столь малых размеров, что их в некоторых условиях можно принять за геометрические точки. В природе нет также ни геометрических линий, ни геометрических поверхностей, но все свойства линий и поверхностей, найденные в геометрии, находят многообразные применения в науке и технике. Это происходит потому, что геометрические понятия – это отражения пространственных свойств окружающего нас мира.

– А когда же появилась такая наука, – робко спросил один из школьников.

– Первые геометрические понятия приобретены людьми в глубокой древности, – ответил Михаил Христофорович. – Скорее всего, они возникли из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров, где хранилось зерно и т. п.) и площади земельных участков. Древнейшие известные нам письменные памятники, содержащие правила для определения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне около 4 000 лет назад. Около 2 500 лет назад греки заимствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания. Первоначально эти знания применялись преимущественно для измерения земельных участков. Отсюда и произошло название науки, которую мы с Вами начали изучать – греческое название «геометрия», переводится на русский язык как «землемерие» или измерение земли.

– Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний, – продолжал капитан. – В её основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.

Эта система около 300 г. до н.э. была изложена в труде одного весьма уважаемого грека Евклида[1] – «Началах». Геометрические разделы «Начал», кстати сказать, по содержанию и по строгости изложения примерно совпадают с Вашими школьными учебниками геометрии.

Для технических построений того времени было достаточно плоских линий. Лишь сто лет спустя, когда этого потребовали возросшие запросы таких наук как астрономия, геодезия и механика, координатный метод (помните наш первый урок, Коля) был применен к изучению кривых поверхностей и линий, проведенных на кривых поверхностях. Систематическое развитие метода координат в пространстве было дано в 1748г. русским академиком Эйлером[2] – гениальным и всесторонним ученым.

Более двух тысяч лет система Евклида считалась единственно верной. Но в 1826 году другой гениальный русский ученый Николай Иванович Лобачевский[3] создал новую геометрию. Исходные ее положения отличаются от основных положений Евклида лишь в одном пункте[4]. Но из этого его допущения вытекает множество очень существенных особенностей.

Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180° (в геометрии Евклида она равна 180° – об этом свойстве треугольника мы поговорим несколько позднее). Причем, чем больше площадь треугольника, тем меньше сумма его углов.

Может показаться, что опыт опровергает этот и другие выводы Лобачевского. Но это не так. Непосредственно измеряя углы треугольника, мы находим, что они в сумме составляют примерно 180°. Точной же величины суммы мы не можем найти вследствие несовершенства измерительных инструментов. Между тем, все те треугольники, которые доступны нашему измерению, слишком малы, чтобы непосредственными измерениями обнаружить недостаток суммы углов до 180°. Геометрия, придуманная Лобачевским, названа неевклидовой.

– Ну, а теперь – быстро купаться, – скомандовал дедушка и сам, быстрее молодёжи, бросился к спасительной прохладе воды.

Ребята, Колька и Оленька, с весёлыми криками и смехом, бросились за ним вдогонку. Вдоволь наплескавшись, ученики вновь заняли места вокруг Михаила Христофоровича и приготовились слушать продолжение. Долго томиться им не пришлось. капитан продолжил свой рассказ.

– Теперь, когда мы немного познакомились с основными понятиями геометрии, назовём и других жителей этой замечательной страны. В геометрии название «прямая» обозначает обычно линию, не ограниченную ни с одной, ни с другой стороны. Прямая линия, с одной стороны ограниченная, а с другой – нет, называется полупрямой или лучом. Прямая линия, ограниченная с обеих сторон, называется отрезком.

Если два луча исходят из одной точки, то фигура, которую они образуют, называется углом.

– Смотрите, – дедушка нарисовал на влажном песке два луча и пояснил. – Образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершина угла) фигура и называется угол. Мерой угла служит величина поворота вокруг вершины О, переводящего луч ОА в положение ОВ. Широко распространены две системы измерения углов – радианная и градусная. В градусной системе измерения углов за единицу принимается поворот луча на 1/360 часть одного полного оборота – градус (обозначение °). Полный оборот (например, при движении часовой стрелки с 0 часов до 12 часов) составляет, таким образом, 360°. Градус делится на 60 минут (обозначение '); минута на 60 секунд (обозначение ", соответственно). Запись 42°33'21", например, читается: 42 градуса, 33 минуты, 21 секунду. Коля и Оля это должны помнить из наших прошлых занятий.

Друзья важно кивнули. Ребята с уважением посмотрели на бывалых математических «морских волков».

– Напомню ещё раз для остальных ребят – Угол в 90° (т. е. 1/4 полного оборота) называется прямым. Угол, меньший 90°, называется острым; больший 90° – тупым. Прямые линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными одна к другой.

Смежные углы – пара углов АОВ и СОВ с общей вершиной О и общей стороной 0В; две другие стороны ОА и ОС составляют продолжение одна другой. Сумма смежных углов равна 180° .

Вертикальные углы – пара углов, у которых вершина общая, а стороны одного составляют продолжение сторон другого. Смотрите, угол АОС и угол DOB (а также угол СОВ и угол AOD) — вертикальные. Вертикальные углы равны между собой (в математике это утверждение записывают так:

АОС

– Так, – засмеялся дедушка, оглядев своих слушателей, – на сегодня достаточно, иначе мы с Вами получим не только солнечный, но и «геометрический» удар.

– А как же волейбольная площадка, – зашумели ребята. – Когда мы её будем размечать.

– А волейбольной площадкой займёмся завтра, – решительно поднялся Михаил Христофорович, – а заодно вы узнаете много нового о такой замечательной фигуре, как треугольник.

– Интересно – какая может быть связь между треугольником и разметкой волейбольной площадки, – задумчиво глядя вслед удаляющемуся дедушке, протянул Колька.

– И не забудьте захватить хорошую прочную верёвку, – бросил через плечо дедушка, чем ещё больше озадачил оставшихся на пляже ребят…

[1] См. Приложение

[2] См. Приложение

[3] См. Приложение

[4] Для любознательных: В геометрии Евклида через точку А проходит только одна прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой ВС, и не пересекающая ее. В геометрии Лобачевского таких прямых бесчисленное множество.