Колька был просто в восторге от первых дней летних каникул. Ему нравилось всё: и то, что дедушка относится к нему как к взрослому, самостоятельному человеку, и то, что математика оказалась не такой уж непонятной, и то, что Оля оказалась не такой врединой, как все девчонки, а настоящим, верным другом.

Вообще, относительно дедушки у Кольки появилась одна догадка - он решил, что Михаил Христофорович - сын другого известного капитана - Христофора Бонифатьевича Врунгеля. Он долго обдумывал эту догадку, прежде чем поделился ей с Олей (под большим секретом, разумеется). Оля фыркнула:

– У меня отчество – Александровна, что же, по-твоему, выходит, что я праправнучка Александра Македонского?

Нет, всё же девчонки есть девчонки, – мрачно подумал Колька. – Я ей серьёзные вещи сообщаю, а она только смеётся…

Но спорить он не стал...

В этот день дедушка повёл своих юных друзей на уже знакомую полянку, словно специально созданную для класса лесной школы – у самого леса, как перед занавесом, стояли четыре пенька – один в центре, а три полукругом. На центральный садился Михаил Христофорович, на два других – ребята, а последний занимал кто-нибудь из лесных жителей. Сегодня, на нём уютно устроилась маленькая пушистая белочка, которая нисколько не боялась близкого соседства людей, и была целиком поглощена своими беличьими заботами, иногда поблескивая в сторону детей и их учителя чёрными глазками-бусинками…

– Сегодня мы поговорим с вами о числах, – так начал свой урок дедушка.

– А что о них говорить-то? – удивлённо спросил Колька. – Числа они и есть числа.

– Что ты, Коленька! О числах можно говорить бесконечно. Например, знаете ли вы, что числа бывают положительными и отрицательными…

– Отрицательные числа! – засмеялся Колька. – Значит и среди чисел в стране математики бывают хулиганы и двоечники!

– Ну что Вы, Коля, – дедушка усмехнулся, – в математике слово отрицательно совсем не означает плохо. Видите ли, на самых ранних ступенях своего развития люди знали только, так называемые, натуральные числа - 0, 1, 2, 3 и т.д. Но оказалось, что этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях жизни. Действительно, одно натуральное число бывает невозможно разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем, в жизни нужно бывает делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и так далее. Без введения дробных чисел деление натуральных чисел есть невозможное действие; введение дробей делает это действие возможным.

– Мы уже проходили дроби, – вмешалась в разговор Оленька. – А зачем же всё-таки понадобились отрицательные числа?

– Слушайте дальше, друзья мои. Даже после введения понятия дробей не всегда возможно вычесть одно число из другого: нельзя вычесть большее число из меньшего, например, 5 из 3. Однако, так как в повседневной жизни это не так уж и необходимо, то очень долгое время это действие считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в 7 веке н.э., а китайскими и ещё раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчётов. Если купец имеет 5000 руб. и закупает товара на 3000 руб., у него остается 5000—3000 = 2000 руб. Если же он имеет 3000 руб., а закупает на 5000 руб., то он остается в долгу на 2000 руб. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000—5000; результатом же является число 2000 (2000 с точкой наверху), означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило несколько искусственный характер: купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000—5000, а всегда выполнял вычитание 5000—3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак не умножения или деления.

«Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обусловливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, мы получим числа

6, 5, 4, 3, 2, 1

дальнейшее вычитание дает уже «отсутствие числа», а дальше не из чего уже вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны: 1) «отсутствие числа» считать также числом – так был введён нуль; 2) от этого последнего числа считать возможным отнять ещё единицу и т. д.

Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:

-1, -2, -3 и т.д.

Эти числа называются целыми отрицательными числами. Стоящий впереди знак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется «знаком количества» в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется «знаком действия».

Введение целых отрицательных чисел влечет за собой введение и дробных отрицательных чисел.

В противоположность отрицательным числам (целым и дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются положительными. Чтобы еще более подчеркнуть эту противоположность, положительные числа снабжаются часто знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знак действия). Например, число 2 записывают так: +2.

– Всё равно я не понял – зачем вводятся эти самые отрицательные числа, – признался Колька.

– А я кое-что читала в книгах из твоей библиотеки, дедушка, об отрицательных числах, но там описано столько правил действий с ними, что я окончательно запуталась, – поддержала товарища Оля. – Вот, допустим, почему при умножении и делении одного отрицательного числа на другое отрицательное число получается число положительное?

Колька уважительно посмотрел на свою подружку – бывают же девчонки на свете!

– Молодцы, ребята, – вы очень внимательные слушатели, – сказал с улыбкой дедушка. – Умении правильно задать вопрос – одно из самых важных в жизни человека. Правильно поставленный вопрос содержит в себе больше половины ответа.

– Все эти ваши вопросы возникают потому, что с отрицательными числами вас обычно знакомят до того, как вы начали решать уравнения, и больше уже не возвращаются к правилам действий с отрицательными числами. А ведь лишь в связи с решением уравнений выясняется ответ на оба ваших вопроса. Исторически отрицательные числа возникли именно в связи с необходимостью решать уравнения. Не будь уравнений, не было бы нужды и в отрицательных числах.

– А об уравнениях мы почти совсем ничего не знаем, – жалобно пробормотал Колька, оглянувшись на Олю. Та пожала плечами, что добавило ему уверенности. – Расскажите нам, Михаил Христофорович, пожалуйста.

– Пожалуйста, дедушка, – присоединилась Оля.

– Невозможно отказать, когда тебя просит столь очаровательная дама и столь вежливый кавалер, – засмеялся дедушка. – Обязательно расскажу, но завтра.

– Почему завтра?! – заволновались ребята. – Мы готовы слушать Вас весь день.

– Завтра-завтра, – остался непреклонен дедушка, – вам необходимо запомнить то, что вы узнали сегодня, а завтра с новыми силами мы отправимся знакомиться с «мистером ИКС».

Ребята хотели спросить ещё что-то, но дедушка решительно поднялся с пенька и неожиданно по-молодому зашагал к реке…

продолжение следует…